Regra de Três Simples e Composta: O Guia Lógico da Proporcionalidade
Sem dúvida, dominar a regra de três simples e composta é uma das habilidades matemáticas mais poderosas e úteis no cotidiano, sendo tão fundamental quanto adicionar e subtrair frações corretamente. Frequentemente, os alunos tentam resolver problemas de proporcionalidade por adivinhação, usando “multiplicação em cruz” sem critério. No entanto, toda questão tem a sua lógica, vamos encontrá-la!
O verdadeiro domínio não está em decorar uma fórmula, mas em compreender a lógica das grandezas proporcionais. Portanto, hoje vamos dissecar esse método passo a passo.
O Alicerce: O que são Grandezas Proporcionais?
Primeiramente, antes de calcular, precisamos analisar. Uma “grandeza” é qualquer coisa que pode ser medida: velocidade, tempo, distância, número de pessoas, custo, etc.
Duas grandezas são proporcionais quando a variação de uma implica, obrigatoriamente, na variação da outra. A “regra de três” é, simplesmente, o método que usamos para encontrar um valor desconhecido (o ‘x’) quando temos três outros valores dentro dessa proporção.
Existem dois tipos de proporção que devemos identificar.
Regra de Três Simples: Grandezas Diretamente Proporcionais (GDP)
Este é o cenário mais intuitivo. Duas grandezas são diretamente proporcionais quando elas crescem ou diminuem juntas.
A lógica é: MAIS de uma, gera MAIS da outra. Ou MENOS de uma, gera MENOS da outra.
Vamos analisar um exemplo prático:
Problema: Se 5 pães custam R$ 10,00, quanto custarão 8 pães?
Passo 1: Montar a Tabela
Alinhe as grandezas em colunas.
Pães | Preço (R$)
5 | 10
8 | x
Passo 2: Análise Lógica (As Setas)
Aqui está o segredo. Compare as grandezas. Se eu aumentar o número de pães (de 5 para 8, seta para cima ↑), o que acontecerá com o preço? Ele também irá aumentar (seta para cima ↑).
Se as setas apontam para a mesma direção, a proporção é DIRETA.
Passo 3: Montar a Equação e Resolver
Como a proporção é direta, basta montar a equação na forma de fração e multiplicar em cruz:
5/8 = 10/x
5 * x = 8 * 10
5x = 80
x = 80 / 5
x = 16
Conclusão Lógica: 8 pães custarão R$ 16,00.
Regra de Três Simples: Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP)
Aqui é onde muitos se confundem, mas a lógica é igualmente clara. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o oposto acontece.
A lógica é: MAIS de uma, gera MENOS da outra.
Pense fora da caixa e resolva o problema com este exemplo:
Problema: Se 2 pedreiros constroem um muro em 6 dias, em quantos dias 4 pedreiros fariam o mesmo muro?
Passo 1: Montar a Tabela
Pedreiros | Dias
2 | 6
4 | x
Passo 2: Análise Lógica (As Setas)
Compare as grandezas. Se eu aumentar o número de pedreiros (de 2 para 4, seta para cima ↑), o que acontecerá com o tempo (dias)? Com mais gente trabalhando, o tempo irá diminuir (seta para baixo ↓).
Se as setas apontam para direções opostas, a proporção é INVERSA.
Passo 3: Montar a Equação e Resolver
Como a proporção é inversa, não podemos multiplicar em cruz diretamente. Primeiro, devemos inverter uma das colunas (uma das frações) para que a proporção se torne direta.
Vamos inverter a coluna “Dias” (era 6/x, agora será x/6):
2/4 = x/6
Agora sim, podemos multiplicar em cruz:
4 * x = 2 * 6
4x = 12
x = 12 / 4
x = 3
Conclusão Lógica: 4 pedreiros levarão 3 dias.
O Desafio Avançado: Regra de Três Composta
A regra de três simples e composta se diferencia apenas no número de grandezas. A composta envolve três ou mais grandezas. O método, contudo, é uma extensão da lógica que acabamos de usar.
Problema: Se 4 padeiros (G1) produzem 200 pães (G2) em 2 dias (G3), quantos pães (X) 8 padeiros (G1) produzirão em 3 dias (G3)?
Passo 1: Montar a Tabela (com a coluna do ‘x’ no início)
Pães | Padeiros | Dias
200 | 4 | 2
x | 8 | 3
Passo 2: Análise Lógica (Sempre com a coluna do ‘x’)
Devemos comparar cada grandeza, uma de cada vez, com a grandeza que contém o ‘x’ (Pães).
Análise A (Pães x Padeiros):
Ignoremos os dias. Se eu aumentar o número de Padeiros (↑), a produção de Pães também aumenta (↑). Logo, é DIRETA. (Mantemos 4/8).
Análise B (Pães x Dias):
Ignoremos os padeiros. Se eu aumentar o número de Dias de trabalho (↑), a produção de Pães também aumenta (↑). Logo, é DIRETA. (Mantemos 2/3).
Passo 3: Montar a Equação e Resolver
A regra é: coloque a fração com o ‘x’ de um lado da igualdade. Do outro lado, coloque a multiplicação de todas as outras frações.
200/x = (4/8) * (2/3)
Primeiro, resolvemos a multiplicação das frações:
200/x = (4 * 2) / (8 * 3)
200/x = 8/24
Agora, temos uma regra de três simples. Multiplicamos em cruz:
8 * x = 200 * 24
8x = 4800
x = 4800 / 8
x = 600
Conclusão Lógica: 8 padeiros, em 3 dias, produzirão 600 pães.
Conclusão: A Lógica Acima da Fórmula
Portanto, como vimos, a regra de três simples e composta não é uma fórmula mágica, mas uma ferramenta de organização lógica. O sucesso não está na multiplicação, mas na análise (Passo 2).
Nunca pule a análise das setas. Ao identificar corretamente se as grandezas são diretas ou inversas, a resolução do problema torna-se metódica e infalível.
A Matemática é a linguagem do universo, vamos dominá-la!
